Hướng dẫn giải bài xích Ôn tập Chương III. Phương pháp toạ độ trong ko gian, sách giáo khoa Hình học tập 12. Nội dung bài bác giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 trang 91 92 93 sgk Hình học 12 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập hình học gồm trong SGK để giúp đỡ các em học viên học tốt môn toán lớp 12.

Bạn đang xem: Ôn tập chương 3 hình học 12

Lý thuyết

1. §1. Hệ tọa độ trong không gian

2. §2. Phương trình khía cạnh phẳng

3. §3. Phương trình mặt đường thẳng trong không gian

4. Những công thức định lượng của phương pháp tọa độ trong ko gian

*

Dưới đấy là Hướng dẫn giải bài bác 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 trang 91 92 93 sgk Hình học tập 12. Các bạn hãy hiểu kỹ đầu bài trước lúc giải nhé!

Bài tập Ôn tập chương III

inhop.vn giới thiệu với các bạn đầy đủ cách thức giải bài tập hình học tập 12 kèm bài bác giải bỏ ra tiết bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 trang 91 92 93 sgk Hình học tập 12 của bài xích Ôn tập Chương III. Phương pháp toạ độ trong không gian cho chúng ta tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

*
Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 trang 91 92 93 sgk Hình học tập 12

1. Giải bài xích 1 trang 91 sgk Hình học 12

Trong hệ toạ độ (Oxyz), cho tứ điểm (A( 1 ; 0 ; 0 ), B( 0 ; 1 ; 0 ), C( 0 ; 0 ; 1 ), D( -2 ; 1 ; -1)).

a) chứng minh (A, B, C, D) là tư đỉnh của một tứ diện.

b) search góc giữa hai đường thẳng (AB) và (CD).

c) Tính độ dài con đường cao của hình chóp (A.BCD).

Bài giải:

a) Viết phương trình mặt phẳng ((ABC)): Theo phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, ta có:

((ABC)): (x over 1 + y over 1 + z over 1 = 1 Leftrightarrow x + y + z – 1 = 0)

Thế các toạ độ của (D) vào vế phải của phương trình mặt phẳng ((ABC)), ta có:

(-2 + 1 – 1 – 1 = 1 ≠ 0)

Vậy (D ∉ (ABC)) hay bốn điểm (A, B, C, D) không đồng phẳng, suy ra đpcm.

b) Gọi (α) là góc giữa hai đường thẳng (AB, CD) ta có:

(cos α =left| cos left( overrightarrow AB ,overrightarrow CD ight) ight|)

Do đó, ta tính (cos left( overrightarrow AB ,overrightarrow CD ight)). Góc giữa nhì vectơ (overrightarrow AB ),(overrightarrow CD ) được tính theo công thức:

(cos left( overrightarrow AB ,overrightarrow CD ight) = overrightarrow AB .overrightarrow CD ight over left)

Ta có: (overrightarrow AB = ( – 1,1,0)), (overrightarrow CD = ( – 2,1, – 2))

(overrightarrow AB .overrightarrow CD= (-1).(-2) + 1.1 + 0.(-2) = 3)

(left| overrightarrow AB ight| = sqrt ( – 1)^2 + 1^2 + 0^2 = sqrt 2 )

(left| overrightarrow CD ight| = sqrt ( – 2)^2 + 1^2 + ( – 2)^2 = 3)

( Rightarrow cos (overrightarrow AB ,overrightarrow CD ) = 3 over 3sqrt 2 = sqrt 2 over 2 Rightarrow (overrightarrow AB ,overrightarrow CD ) = 45^0) ( Rightarrow α = 45^0)

c) Ta có (overrightarrow BC = (0; – 1;1),) (overrightarrow BD = ( – 2;0; – 1))

Gọi (overrightarrow n ) là vectơ pháp tuyến của ((BCD)) thì:

(overrightarrow n = left< overrightarrow BC ,overrightarrow BD ight> = (-1; -2; 2))

Phương trình mặt phẳng ((BCD)):

(-1(x – 0) – 2(y – 1) + 2( z – 0) = 0)

( Leftrightarrow x + 2y – 2z – 2 = 0)

Chiều cao của hình chóp (A.BCD) bằng khoảng cách từ điểm (A) đến mặt phẳng ((BCD)):

(h = d(A,(BCD)) = left over sqrt 1^2 + 2^2 + ( – 2)^2 = 3 over 3 = 1)

2. Giải bài 2 trang 91 sgk Hình học tập 12

Trong hệ toạ độ (Oxyz), cho mặt cầu ((S)) có 2 lần bán kính là (AB) biết rằng (A( 6 ; 2 ; -5), B(-4 ; 0 ; 7)).

a) tìm toạ độ chổ chính giữa (I) với tính bán kính (r) của mặt cầu ((S))

b) Lập phương trình của mặt cầu ((S)).

c) Lập phương trình của phương diện phẳng ((α)) tiếp xúc với mặt mong ((S)) trên điểm (A).

Bài giải:

a) trung khu (I) của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng (AB):

(left{ matrixx_1 = 1 over 2(6 – 4) Rightarrow x_1 = 1 hfill cry_1 = 1 over 2(2 + 0) Rightarrow y_1 = 1 hfill crz_1 = 1 over 2(7 – 5) Rightarrow z_1 = 1 hfill cr ight.)

Vậy (I(1; 1; 1))

Bán kính (R = AB over 2)

(AB^2 = m left( – 4 m – m 6 ight)^2 + m left( m 0 m – m 2 ight)^2 + m left( 7 m + m 5 ight)^2 = m 248)

( Rightarrow AB = sqrt 248 = 2sqrt 62 )

Vậy (R = AB over 2 = sqrt 62 )

b) Phương trình mặt cầu ((S))

(left( x m – m 1 ight)^2 m + m left( y m – m 1 ight)^2 + m left( z m – m 1 ight)^2 = m 62)

( Leftrightarrow ) (x^2 m + m y^2 + m z^2 – m 2x m – m 2y m – m 2z m – m 59 m = m 0)

c) Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm (A) chính là mặt phẳng qua (A) và vuông góc với bán kính (IA). Ta có:

(overrightarrow IA = (5; 1 ; -6))

Phương trình mặt phẳng cần tìm là:

(5(x – 6) + 1(y – 2) – 6(z + 5) = 0)

( Leftrightarrow 5x + y – 6z – 62 = 0)

3. Giải bài 3 trang 92 sgk Hình học 12

Trong hệ toạ độ (Oxyz), cho tứ điểm (A(-2 ; 6 ; 3), B(1 ; 0 ; 6), C(0; 2 ; -1), D(1 ; 4 ; 0)).

a) Viết phương trình mặt phẳng ((BCD)). Suy ra (ABCD) là một trong những tứ diện.

b) Tính chiều cao (AH) của tứ diện (ABCD).

c) Viết phương trình khía cạnh phẳng ((α)) đựng (AB) và tuy vậy song cùng với (CD).

Bài giải:

a) Ta có: (overrightarrow BC = (-1; 2; -7)), (overrightarrow BD= (0; 4; -6))

Xét vectơ (overrightarrow a = left< overrightarrow BC ,overrightarrow BD ight>) ( Rightarrow overrightarrow a = (16; – 6; – 4) = 2(8; – 3; – 2))

Mặt phẳng ((BCD)) trải qua (B) và nhận (overrightarrow a’ = (8; -3; -2)) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình:

(8(x – 1) -3y – 2(z – 6) = 0) ( Leftrightarrow 8x – 3y – 2z + 4 = 0)

Thay toạ độ của (A) vào phương trình của ((BC)) ta có:

(8.(-2) – 3.6 – 2.6 + 4 = -42 ≠ 0)

Điều này chứng tỏ điểm (A) không thuộc mặt phẳng ((BCD)) tốt bốn điểm (A, B, C, D) ko đồng phẳng, và (ABCD) là một tứ diện.

b) Chiều cao (AH) là khoảng cách từ (A) đến mặt phẳng ((BCD)):

(AH = d(A,(BCD))) = (left over sqrt 8^2 + ( – 3)^2 + ( – 2)^2 = 36 over sqrt 77 )

c) Ta có: (overrightarrow AB = (3; – 6; 3)), (overrightarrow CD = ( 1; 2; 1))

Mặt phẳng ((α)) chứa (AB) và (CD) chính là mặt phẳng đi qua (A(-2; 6; 3)) và nhận cặp vectơ (overrightarrow AB ), (overrightarrow CD ) làm cặp vectơ chỉ phương, có vectơ pháp tuyến (overrightarrow n = left< overrightarrow AB ,overrightarrow CD ight>)

(Rightarrow overrightarrow n ) = ((-12; 0; 12) = -12(1; 0; -1))

Vậy phương trình của ((α)) là:

(1(x + 2) + 0(y – 6) – 1(z – 3) = 0 )( Leftrightarrow x – z + 5 = 0)

4. Giải bài 4 trang 92 sgk Hình học 12

Trong hệ toạ độ (Oxyz), lập phương trình tham số của đường thẳng:

a) Đi qua nhì điểm (A(1 ; 0 ; -3), B(3 ; -1 ; 0)).

b) Đi qua điểm (M(2 ; 3 ; -5)) và song song với mặt đường thẳng (∆) gồm phương trình.

(left{ matrixx = – 2 + 2t hfill cry = 3 – 4t hfill crz = – 5t. hfill cr ight.)

Bài giải:

a) Đường thẳng (d) qua (A, B) có vectơ chỉ phương ((2, -1, 3)) phải phương trình tham số của (d) có dạng:

(left{ matrixx = 1 + 2t hfill cry = – t hfill crz = – 3 + 3t hfill cr ight.)

với (t ∈ mathbbR).

b) Đường thẳng (d // ∆). Mà (overrightarrow u (2, -4, -5)) là vectơ chỉ phương của (∆) đề nghị cũng là vectơ chỉ phương của (d). Phương trình tham số của đường thẳng (d) là:

(left = 18 over 3 = 6)

Vì (d(I, α) (x – 3)^2 + (y + 2)^2 + (z – 1)^2 = 100 hfill cr ight.)

Tâm (K) của đường tròn ((C)) là hình chiếu vuông góc của trọng điểm (I) của mặt cầu trên mặt phẳng ((α)).

Mặt phẳng (((α)) có vectơ pháp tuyến (overrightarrow n = (2, -2. -1)).

Đường thẳng (d) qua (I) và vuông góc với ((α)) nhận (overrightarrow n = (2, -2, -1)) làm vectơ chỉ phương và có phương trình (d) :

(left{ matrixx = 3 + 2t hfill cry = – 2 – 2t hfill crz = 1 – t hfill cr ight.)

Thế các biểu thức của (x,y,z) theo (t) vào phương trình của ((alpha)) ta được:

(2.(3+2t)-2.(-2-2t)-(1-t)+9=0)

(Rightarrow t=-2)

Thay (t = -2) vào phương trình của (d), ta được toạ độ trung ương (K) của đường tròn ((C)).

(left{ matrixx = 3 + 2.( – 2) = – 1 hfill cry = – 2 – 2.( – 2) = 2 hfill crz = 1 – 2.( – 2) = 3 hfill cr ight.)

( Rightarrow K(-1; 2;3))

Ta có: (IK^2 = m left( – 1 m – m 3 ight)^2 + m left( 2 m + m 2 ight)^2 + m left( 3 m – m 1 ight)^2 = m 36)

Bán kính (r) của đường tròn ((C)) là:

(r^2 = m R^2 – m IK^2 = m 10^2 – m 36 m = m 64) ( Rightarrow r= 8)

6. Giải bài 6 trang 92 sgk Hình học 12

Trong hệ toạ độ (Oxyz), mang đến mặt phẳng ((α)) tất cả phương trình (3x + 5y – z -2 = 0) và mặt đường thẳng (d) bao gồm phương trình:

(left{ matrixx = 12 + 4t hfill cry = 9 + 3t hfill crz = 1 + t. hfill cr ight.)

a) tìm giao điểm (M) của mặt đường thẳng (d) cùng mặt phẳng ((α)).

Xem thêm: Cách Chăm Sóc Cây Sống Đời Mini, Hướng Dẫn Chăm Sóc Hoa Sống Đời

b) Viết phương trình khía cạnh phẳng ((β)) đựng điểm (M) cùng vuông góc với đường thẳng (d).

Bài giải:

a) nắm toạ độ (x, y, z) trong phương trình đường thẳng (d) vào phương trình ((α)), ta có: (3(12 + 4t) + 5( 9 + 3t) – (1 + t) – 2 = 0).

(Rightarrow 26t + 78 = 0) ( Rightarrow t = – 3) ( Rightarrow M(0; 0; – 2)).

b) Vectơ (overrightarrow u (4; 3; 1)) là vectơ chỉ phương của (d). Mặt phẳng ((β)) vuông góc với (d) nhận (overrightarrow u ) làm vectơ pháp tuyến. Vì (M(0; 0; -2) ∈ (β)) cần phương trình ((β)) có dạng:

(4(x – 0) + 3(y – 0) + (z + 2) = 0)

hay (4x + 3y + z + 2 = 0)

7. Giải bài xích 7 trang 92 sgk Hình học 12

Trong hệ toạ độ (Oxyz), mang đến điểm (A(-1 ; 2 ; -3)), vectơ (vec a= (6 ; -2 ; -3)) và con đường thẳng (d) gồm phương trình:

(left{ matrixx = 1 + 3t hfill cry = – 1 + 2t hfill crz = 3 – 5t. hfill cr ight.)

a) Viết phương trình phương diện phẳng ((α)) đựng điểm (A) cùng vuông góc với mức giá của (vec a).

b) kiếm tìm giao điểm của (d) cùng ((α)).

c) Viết phương trình con đường thẳng (∆) đi qua điểm (A), vuông góc với cái giá của (vec a) và cắt đường trực tiếp (d).

Bài giải:

a) Mặt phẳng ((α)) vuông góc với giá của (vec a) nhận (vec a) làm vectơ pháp tuyến; ((α)) đi qua (A(-1; 2; -3)) có phương trình:

(6(x + 1) – 2(y – 2) – 3(z + 3) = 0) ( Leftrightarrow 6x – 2y – 3z + 1 = 0)

b) gắng các biểu thức của (x, y, z) theo (t) vào phương trình tham số của (∆) vào phương trình ((α)) ta có:

(6.(1 + 3t) – 2(-1 + 2t) – 3(3 – 5t) + 1 = 0) ( Leftrightarrow t = 0).

Từ trên đây ta tính được toạ độ giao điểm (M) của (d) và ((α)): (M(1; -1; 3)).

c) Đường thẳng (∆) cần tìm chính là đường thẳng (AM) nhận vectơ (overrightarrow AM ) làm vectơ chỉ phương: (overrightarrow AM = (2; -3; 6))

Phương trình đường thẳng (AM):

(left{ matrixx = 1 + 2t hfill cry = – 1 – 3t hfill crz = 3 + 6t hfill cr ight.)

8. Giải bài xích 8 trang 93 sgk Hình học tập 12

Trong hệ toạ độ (Oxyz), viết phương trình mặt phẳng ((α)) tiếp xúc với khía cạnh cầu

(S): (x^2 + y^2 + z^2 – 10x + 2y + 26z + 170 = 0)

và song song với hai đường thẳng

(d:left{ matrixx = – 5 + 2t hfill cry = 1 – 3t hfill crz = – 13 + 2t hfill cr ight.)

(d’:left{ matrixx = – 7 + 3k hfill cry = – 1 – 2k hfill crz = 8 hfill cr ight.)

Bài giải:

Đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương (overrightarrow a = (2; -3; 2))

(d’) có vectơ chỉ phương (overrightarrow a’ = (3; -2; 0))

Mặt phẳng ((α)) tuy vậy song với (d) và (d’) nhận vectơ (overrightarrow n = left< overrightarrow a ,overrightarrow a’ ight>) làm vectơ pháp tuyến.

(overrightarrow n ) = (4; 6; 5)

Phương trình mặt phẳng ((α)) có dạng: (4x + 6y + 5z + D = 0)

Mặt cầu ((S)) có trung khu (I(5; -1; -13)) và bán kính (R = 5). Để ((α)) tiếp xúc với mặt cầu ((S)), ta phải có:

(d(I, (α)) = R Leftrightarrow left over sqrt 4^2 + 6^2 + 5^2 = 5)

( Leftrightarrow left| D – 5 ight| = 5sqrt 77 )

Ta được hai mặt phẳng thoả mãn yêu cầu:

(D – 51 = 5sqrt77) ( Rightarrow (alpha _1):4x + 6y + 5z + 51 + 5sqrt 77 = 0)

(D – 51 = -5sqrt77) ( Rightarrow (alpha _2):4x + 6y + 5z + 51 – 5sqrt 77 = 0)

9. Giải bài xích 9 trang 93 sgk Hình học 12

Trong hệ toạ độ (Oxyz), kiếm tìm toạ độ điểm (H) là hình chiếu vuông góc của điểm (M( 1 ; -1 ; 2)) trên mặt phẳng ((α): 2x – y + 2z +11 = 0)

Bài giải:

Điểm (H), hình chiếu vuông góc của điểm (M) trên mp ((α)) chính là giao điểm của đường thẳng (∆) trải qua (M) và vuông góc với ((α)). Mặt phẳng ((α)) có vectơ pháp tuyến (overrightarrow n = (2; -1; 2)).

Đường thẳng (∆) vuông góc với mp( (α)) nhận (overrightarrow n ) làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của (∆):

(left{ matrixx = 1 + 2t hfill cry = – 1 – t hfill crz = 2 + 2t hfill cr ight.)

Thay các biểu thức này vào phương trình (mp (α)), ta có:

(2(1 + 2t) – (-1 – t) + 2(2 + 2t) + 11 = 0 )

(Leftrightarrow t = -2).

Từ phía trên ta được (H(-3; 1; -2)).

10. Giải bài 10 trang 93 sgk Hình học 12

Trong hệ toạ độ (Oxyz), cho điểm (M(2 ; 1 ; 0)) và mặt phẳng ((α): x + 3y – z – 27 = 0). Tìm toạ độ điểm (M’) đối xứng cùng với (M) qua ((α)).

Bài giải:

Gọi (H) là hình chiếu vuông góc của (M) lên mặt phẳng ((α)) và (M’) là điểm đối xứng của (M) qua ((α)) thì (H) là trung điểm của đoạn thẳng (MM’). Xét đường thẳng (∆) qua (M) và (∆) vuông góc với ((α)).

Phương trình (∆) có dạng:

(left{ matrixx = 2 + t hfill cry = 1 + 3t hfill crz = – t hfill cr ight.)

Từ phía trên ta tìm được toạ độ điểm (H) là hình chiếu của (M) trên ((α)).

Thay các tọa độ (x,y,z) theo (t) từ bỏ phương trình (Delta) và phương trình ((alpha)) ta được:

(2+t+3(1+3t)-(-t)-27=0Rightarrow 11t=22)

(Rightarrow t=2)

(Rightarrow H(4; 7; -2))

(M) và (M’) đối xứng nhau qua ((α)) đề xuất (overrightarrow MM’ = 2overrightarrow MH )

Gọi ((x, y, z)) là toạ độ của (M’) ta có: (overrightarrow MM’ = (x – 2; y – 1; z)); (overrightarrow MH = (2; 6; -2))

(overrightarrow MM’ )=(2overrightarrow MH )

( Leftrightarrow left{ matrixx – 2 = 2.2 Rightarrow x = 6 hfill cry – 1 = 2.6 Rightarrow y = 13 hfill crz = 2.( – 2) Rightarrow z = – 4 hfill cr ight.)

( Rightarrow M’ (6; 13; -4))

11. Giải bài 11 trang 93 sgk Hình học 12

Trong hệ toạ độ (Oxyz), viết phương trình đường thẳng (∆) vuông góc với mặt phẳng toạ độ ((Oxz)) cùng cắt hai tuyến đường thẳng

(d:left{ matrixx = t hfill cry = – 4 + t hfill crz = 3 – t hfill cr ight.)

(d’:left{ matrixx = 1 – 2k hfill cry = – 3 + k hfill crz = 4 – 5k. hfill cr ight.)

Bài giải:

Gọi (M) là điểm thuộc đường thẳng (d), toạ độ của (M) là (M( t; -4 + t; 3 – t)). (N) là điểm thuộc đường thẳng (d’), toạ độ của (N) là (N(1 – 2k; -3 + k; 4 – 5k)).

Ta có: (overrightarrow MN= (1 – 2k – t; 1 + k – t; 1 – 5k + 1))

Vì (MN ⊥ (Oxz)) bắt buộc (MN ⊥ Ox) và (MN ⊥ Oz)

(Ox) có vectơ chỉ phương (overrightarrow i = (1; 0; 0));

(Oz) có vectơ chỉ phương (overrightarrow j = (0; 0; 1)).

(MN ⊥ Ox)

( Leftrightarrow (1 – 2k – t).1 + (1 + k – t).0 + (1 – 5k + t).0) (= 0)

( Leftrightarrow 1 – 2k – t = 0) (1)

(MN ⊥ Oz)

( Leftrightarrow (1 – 2k – t).0 + (1 + k – t).0 + (1 – 5k + t) = 0) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ

(left{ matrix1 – 2k – t = 0 hfill cr1 – 5k + t = 0 hfill cr ight.)

Hệ này cho ta (k = 2 over 7); t =(3 over 7) và được toạ độ của M(left( 3 over 7; – 25 over 7;18 over 7 ight)) , N(left( 3 over 7; – 19 over 7;18 over 7 ight))

Từ phía trên ta có (overrightarrow MN = (0; 1; 0)) và được phương trình đường thẳng (MN) là:

(left{ matrixx = 3 over 7 hfill cry = – 25 over 7 + t hfill crz = 18 over 7 hfill cr ight.)

12. Giải bài xích 12 trang 93 sgk Hình học tập 12

Trong hệ toạ độ (Oxyz), tìm toạ độ điểm (A’) đối xứng cùng với điểm (A(1 ; -2 ; -5)) qua đường thẳng (∆) có phương trình

(left{ matrixx = 1 + 2t hfill cry = – 1 – t hfill crz = 2t. hfill cr ight.)

Bài giải:

Gọi (H) là hình chiếu vuông góc của (A) lên đường thẳng (△). Khi đó (H) là trung điểm của (AA’).

Xét mặt phẳng ((P)) qua (A) và ((P) ⊥ △). Khi đó (H = (P) ⋂ △).

Vì (overrightarrow u (2; -1; 2)) là vectơ chỉ phương của (△) đề xuất (overrightarrow u ) là vectơ pháp tuyến của ((P)). Phương trình mặt phẳng ((P)) có dạng:

(2(x – 1) – (y + 2) + 2(z + 5) = 0) hay (2x – y + 2z + 6 = 0) (1)

Để tìm giao điểm (H = (P) ⋂ △). Vắt toạ độ (x, y, z) vào phương trình của (△) vào (1), ta có:

(2(1 + 2t) + (1 + t) + 4t + 6 = 0)

( Rightarrow 9t + 9 = 0Rightarrow t = -1) ( Rightarrow H(-1; 0; -2)).

Từ đó ta tìm được (A"(-3; 2; 1))

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Chúc các bạn làm bài xuất sắc cùng giải bài tập sgk toán lớp 12 với giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 trang 91 92 93 sgk Hình học tập 12!